求一个正交变换化下列二次型成标准形： f=x12+x32+2x1x2—2x2x3．

admin2020-11-13 41

问题求一个正交变换化下列二次型成标准形：
f=x₁²+x₃²+2x₁x₂—2x₂x₃．

选项

答案f的矩阵A=[*]=(λ一1)(λ一2)(λ+1)，解得A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=一1． ①当λ₁=1时，解方程组(E—A)x=0，得基础解系为α₁=(1，0，1)^T； ②当λ₂=2时，解方程组(2E—A)x=0，得基础解系为α₂=(1，1，一1)^T； ③当λ₃=一1时，解方程组(一E—A)x=0，得基础解系为α₃=(一1，2，1)^T．最后将α₁，α₂，α₃单位化得 [*] 因此所求的正交变换为[*] 因此f的标准形为f=y₁²+2y₂²一y₃²．

解析

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考研数学三

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