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  3. 设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，求证：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx。

设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，求证：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx。

admin2017-02-13  38
问题 设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，求证：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx。
选项
答案积分中值定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b－a)， 即f(ξ)=[*]∫abxf(x)dx，且称f(ξ)为函数f(x)在区间[a，b]上的平均值。 要证∫abxf(x)dx≥[*]∫abf(x)dx等价于证明∫ab(x－[*])f(x)≥0。又 I=[*]， 由积分中值定理，存在ξ1∈［a，[*]］，ξ2∈［[*]，b］使 [*] 由于f(x)单调增加，从而f(ξ2)≥f(ξ1)，故I≥0。得证。
解析
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考研数学三

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