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设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证:∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx。
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证:∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx。
admin
2017-02-13
37
问题
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证:∫
a
b
xf(x)dx≥
∫
a
b
f(x)dx。
选项
答案
积分中值定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 ∫
a
b
f(x)dx=f(ξ)(b-a), 即f(ξ)=[*]∫
a
b
xf(x)dx,且称f(ξ)为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。 要证∫
a
b
xf(x)dx≥[*]∫
a
b
f(x)dx等价于证明∫
a
b
(x-[*])f(x)≥0。又 I=[*], 由积分中值定理,存在ξ
1
∈[a,[*]],ξ
2
∈[[*],b]使 [*] 由于f(x)单调增加,从而f(ξ
2
)≥f(ξ
1
),故I≥0。得证。
解析
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考研数学三
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