2. 考研
  3. 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2018-07-26  25
问题 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案假设有一组数x1，x2，…，xs，使得 x1β1+x2β2+…xsβs=0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得 (xs+x1)α1+(x1+x2)α2+…+(xs－1+xs)αs=0 由于α1，α2，…，αs线性无关，故有 [*] 此方程组的系数行列式为s阶行列式： [*] 因此有 (1)若s为奇数，则D=2≠0，故方程组(*)只有零解，即x1，x2，…，xs必全为0．这时，β1，β2，…，βs线性无关； (2)若s为偶数，则D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数x1，x2，…，xs，使x1β1+x2β2+…+xsβs=0．这时，向量组β1，β2，…，βs线性相关．
解析
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考研数学三

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