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已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
admin
2018-07-26
66
问题
已知向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关．设β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s－1
=α
s－1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
．试讨论向量组β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性．
选项
答案
假设有一组数x
1
，x
2
，…，x
s
，使得 x
1
β
1
+x
2
β
2
+…x
s
β
s
=0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得 (x
s
+x
1
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s－1
+x
s
)α
s
=0 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，故有 [*] 此方程组的系数行列式为s阶行列式： [*] 因此有 (1)若s为奇数，则D=2≠0，故方程组(*)只有零解，即x
1
，x
2
，…，x
s
必全为0．这时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； (2)若s为偶数，则D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数x
1
，x
2
，…，x
s
，使x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0．这时，向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pTW4777K
0
考研数学三
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