已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2018-07-26 42

问题已知向量组α₁，α₂，…，α_s(s≥2)线性无关．设β₁=α₁+α₂，β₂=α₂+α₃，…，β_s－1=α_s－1+α_s，β_s=α_s+α₁．试讨论向量组β₁，β₂，…，β_s的线性相关性．

选项

答案假设有一组数x₁，x₂，…，x_s，使得 x₁β₁+x₂β₂+…x_sβ_s=0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得 (x_s+x₁)α₁+(x₁+x₂)α₂+…+(x_s－1+x_s)α_s=0 由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，故有 [*] 此方程组的系数行列式为s阶行列式： [*] 因此有 (1)若s为奇数，则D=2≠0，故方程组(*)只有零解，即x₁，x₂，…，x_s必全为0．这时，β₁，β₂，…，β_s线性无关； (2)若s为偶数，则D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数x₁，x₂，…，x_s，使x₁β₁+x₂β₂+…+x_sβ_s=0．这时，向量组β₁，β₂，…，β_s线性相关．

解析

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考研数学三

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已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

考研数学三

已知矩阵A=，求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．

设A，B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是____．

证明：

(Ⅰ)用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则当△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是()无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是()无穷小，与△x比较是()无穷小(Ⅱ)设函

已知向量组α1=(1，2，-1，1)T，α2=(2，0，a，0)T，α3=(0，-4，5，1-a)T的秩为2，则a=______．

证明极限不存在．

已知α1=(1，2，3，4)T，α2=(2，0，-1，1)T，α3=(6，0，0，5)T，则向量组的秩r(α1，α2，α3)=_，极大线性无关组是_．

设n阶矩阵A=，证明行列式｜A｜=(n+1)an．

设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

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证明：

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已知向量组α1=(1，2，-1，1)T，α2=(2，0，a，0)T，α3=(0，-4，5，1-a)T的秩为2，则a=______．

证明极限不存在．

已知α1=(1，2，3，4)T，α2=(2，0，-1，1)T，α3=(6，0，0，5)T，则向量组的秩r(α1，α2，α3)=_______，极大线性无关组是_______．

设n阶矩阵A=，证明行列式｜A｜=(n+1)an．

设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

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