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设二阶常系数线性微分方程 y"+αy’+βy=γe2x 的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,求此方程的通解。
设二阶常系数线性微分方程 y"+αy’+βy=γe2x 的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,求此方程的通解。
admin
2015-11-16
31
问题
设二阶常系数线性微分方程
y"+αy’+βy=γe
2x
的一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
,求此方程的通解。
选项
答案
解 由所给方程的非齐次项为γe
2x
及特解中含有e
2x
项知,y
*
=e
2x
是原方程的一个特解,于是y=(1+x)e
x
应是对应齐次方程的特解,因而1为特征方程的二重特征根,于是特征方程为 r
2
-2r+1=0, 则齐次方程应是 y"-2y’+y=0。 故 α=-2, β=1。 又y
*
为非齐次方程的特解,代入其中得 4e
2x
-2·2e
2x
+e
2x
=γe
2x
, 故 γ=1。 因y
1
=e
x
,y
2
=xe
x
都是y"-2y’+y=0的解,且 [*] 故其线性无关,所以Y=(c
1
+c
2
x)e
x
为y"-2y’+y=0的通解,又y
*
=e
2x
是非齐次方程的一个特解,故y=(c
1
+c
2
x)e
x
+e
2x
是非齐次方程的通解。
解析
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考研数学一
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