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  3. 设二阶常系数线性微分方程 y"＋αy’＋βy＝γe2x 的一个特解为y＝e2x＋(1＋x)ex，求此方程的通解。

设二阶常系数线性微分方程 y"＋αy’＋βy＝γe2x 的一个特解为y＝e2x＋(1＋x)ex，求此方程的通解。

admin2015-11-16  73
问题 设二阶常系数线性微分方程
    y"＋αy’＋βy＝γe2x
的一个特解为y＝e2x＋(1＋x)ex，求此方程的通解。
选项
答案解 由所给方程的非齐次项为γe2x及特解中含有e2x项知，y*＝e2x是原方程的一个特解，于是y＝(1＋x)ex应是对应齐次方程的特解，因而1为特征方程的二重特征根，于是特征方程为 r2－2r＋1＝0， 则齐次方程应是 y"－2y’＋y＝0。 故 α＝－2， β＝1。 又y*为非齐次方程的特解，代入其中得 4e2x－2·2e2x＋e2x＝γe2x， 故 γ＝1。 因y1＝ex，y2＝xex都是y"－2y’＋y＝0的解，且 [*] 故其线性无关，所以Y＝(c1＋c2x)ex为y"－2y’＋y＝0的通解，又y*＝e2x是非齐次方程的一个特解，故y＝(c1＋c2x)ex＋e2x是非齐次方程的通解。
解析
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考研数学一

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