某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为V/6，流人湖泊内不含A的水量为V/6，流出湖的水量为V/3．设2010年年底湖中A的含量5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2011年年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过m0/V，问至多经过

admin2020-12-10 98

问题某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为V/6，流人湖泊内不含A的水量为V/6，流出湖的水量为V/3．设2010年年底湖中A的含量5m₀，超过国家规定指标，为了治理污染，从2011年年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过m₀/V，问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m₀以内(设湖中A的浓度是均匀的)?

选项

答案设从2011年年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为m/V，任取时间元素[t，t+dt]，排人湖中污染物A的含量为[*]，流出湖的污染物A的含量为[*]，则在此时间元素内污染物A的改变量为 [*] 于是[*]，令m=m₀，得t=6ln3，即至多经过7年湖中污染物A的含量不超过m₀．

解析

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考研数学二

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考研数学二

[*]

(13年)设奇函数f(x)在[-1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明：(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f／"(η)+f’(η)=1．

函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。

[2017年]设函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，＜0．方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0，在(0，1)内至少有两个不同的实根．

(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．

对n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。试证f在条件x12+x22+…+xn2=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。

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