设向量r=x2zi+xy2j+yz2k，试求散度divr在点P(2，2，1)处： (1)沿曲面x2+y2+z2=9外法线方向的方向导数； (2)最大变化率．

admin2022-07-21 112

问题设向量r=x²zi+xy²j+yz²k，试求散度divr在点P(2，2，1)处：
(1)沿曲面x²+y²+z²=9外法线方向的方向导数；
(2)最大变化率．

选项

答案由散度公式，得 divr=div(x²zi+xy²j+yz²k)=2(xz+xy+yz) (1)令F(x，y，z)=x²+y²+z²-9在点P(2，2，1)处的外法线的法向量为 n=4i+4j+2k，n⁰=[*](2i+2j+k) 由梯度公式，得 grad(divr)=2grad(xz+xy+yz)=2[(y+z)i+(x+z)j+(x+y)k)] grad(divr)｜_P=6i+6j+8k 于是所求的方向导数为 [*] (2)由与函数在某点的最大变化率就是其最大的方向导数，而最大方向导数等于其梯度的模，于是散度divr在点P(2，2，1)的最大变化率是沿grad(divr)方向的方向导数为 [*]

解析

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考研数学三

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设向量r=x2zi+xy2j+yz2k，试求散度divr在点P(2，2，1)处： (1)沿曲面x2+y2+z2=9外法线方向的方向导数； (2)最大变化率．

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