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设向量r=x2zi+xy2j+yz2k,试求散度divr在点P(2,2,1)处: (1)沿曲面x2+y2+z2=9外法线方向的方向导数; (2)最大变化率.
设向量r=x2zi+xy2j+yz2k,试求散度divr在点P(2,2,1)处: (1)沿曲面x2+y2+z2=9外法线方向的方向导数; (2)最大变化率.
admin
2022-07-21
93
问题
设向量r=x
2
zi+xy
2
j+yz
2
k,试求散度divr在点P(2,2,1)处:
(1)沿曲面x
2
+y
2
+z
2
=9外法线方向的方向导数;
(2)最大变化率.
选项
答案
由散度公式,得 divr=div(x
2
zi+xy
2
j+yz
2
k)=2(xz+xy+yz) (1)令F(x,y,z)=x
2
+y
2
+z
2
-9在点P(2,2,1)处的外法线的法向量为 n=4i+4j+2k,n
0
=[*](2i+2j+k) 由梯度公式,得 grad(divr)=2grad(xz+xy+yz)=2[(y+z)i+(x+z)j+(x+y)k)] grad(divr)|
P
=6i+6j+8k 于是所求的方向导数为 [*] (2)由与函数在某点的最大变化率就是其最大的方向导数,而最大方向导数等于其梯度的模,于是散度divr在点P(2,2,1)的最大变化率是沿grad(divr)方向的方向导数为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qCR4777K
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考研数学三
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