设矩阵A=相似于矩阵B= (I)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2015-03-27 67

问题设矩阵A=

相似于矩阵B=

(I)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案(I)由于矩阵A与矩阵B相似，所以 tr(A)＝tr(B)，｜A｜＝｜B｜，于是 3+a＝2+b，2a-3＝b，解得 a=4，b=5． (Ⅱ)由(I)知A=[*]B＝[*] 　　由于矩阵A与矩阵B相似，所以｜λE-A｜＝｜λE－B｜＝(λ—1)²(λ一5)．　　故A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝5．　当λ₁＝λ₂＝1时，解方程组(E一A)x=0，得线性无关的特征向量ξ₁＝[*]，ξ₂＝[*] 当λ₃＝5时，解方程组(5E-A)x＝0，得特征向量ξ₃＝[*] 　令P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*]则 P^-1AP=[*] 故P为所求可逆矩阵．

解析

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考研数学一

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