设矩阵A=相似于矩阵B= (I)求a,b的值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2015-03-27  58

问题 设矩阵A=相似于矩阵B=
  (I)求a,b的值;
  (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案(I)由于矩阵A与矩阵B相似,所以 tr(A)=tr(B),|A|=|B|, 于是 3+a=2+b,2a-3=b, 解得 a=4,b=5. (Ⅱ)由(I)知A=[*]B=[*]    由于矩阵A与矩阵B相似,所以 |λE-A|=|λE-B|=(λ—1)2(λ一5).    故A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=5.   当λ1=λ2=1时,解方程组(E一A)x=0,得线性无关的特征向量ξ1=[*],ξ2=[*] 当λ3=5时,解方程组(5E-A)x=0,得特征向量ξ3=[*]  令P=(ξ1,ξ2,ξ3)=[*]则 P-1AP=[*] 故P为所求可逆矩阵.

解析
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