2. 考研
  3. n维向量组α1，α2，…，αs(3≤S≤n)线性无关的充要条件是( )．

n维向量组α1，α2，…，αs(3≤S≤n)线性无关的充要条件是( )．

admin2021-07-27  93
问题 n维向量组α1，α2，…，αs(3≤S≤n)线性无关的充要条件是(          )．
选项 A、存在一组全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0
B、α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
C、α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D、存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs≠0
答案C
解析 选项(A)，对任何向量组都有0α1+0α2+…+0αs=O的结论．
选项(B)，必要但不充分，如α1=[0，1，0]T，α2=[1，1，0]T，α3=[1，0，0]T中任意两个向量均线性无关，但α1，α2，α3线性相关．
选项(D)，必要但不充分，如α1+α2+α3≠0，但α1，α2，α3线性相关，由排除法，选(C)，事实上可用反证法证明．
必要性：假设有一向量(如αs)可由α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出．
充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关→至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．
故选(C)．
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考研数学二

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