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设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C 其中 证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.
设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C 其中 证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.
admin
2018-09-25
31
问题
设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CA
T
=2C
其中
证明:对任何3维向量ξ,A
100
ξ与ξ必线性相关.
选项
答案
因Aβ
i
=-2β
i
(i=1,2),故A
100
β
i
=(-2)
100
β
i
=2
100
β
i
(i=1,2).因Aα
1
=2α
1
,故A
10
α
1
=2
100
α
1
. 对任意的3维向量ξ,因β
1
,β
2
,α
1
线性无关,ξ可由β
1
,β
2
,α
1
线性表示,且表示法唯一. 设ξ=μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
,则 A
100
ξ=A
100
(μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
)=μ
1
A
100
β
1
+μ
2
A
100
β
2
+μ
3
A
100
α
1
=μ
1
2
100
β
1
+μ
2
2
100
β
2
+μ
3
2
100
α
1
=2
100
(μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
)=2
100
ξ. 得证A
100
ξ和ξ成比例,A
100
ξ和ξ线性相关.
解析
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