设A,B都是对称矩阵,并且E+AB可逆,证明(E+AB)-1是对称矩阵.

admin2017-08-07  27

问题 设A,B都是对称矩阵,并且E+AB可逆,证明(E+AB)-1是对称矩阵.

选项

答案(E+AB)-1A对称,就是[(E+AB)-1A]T=(E+AB)-1A. [(E+AB)-1A]T=A[(E+AB)-1]T=A[(E+AB)T]-1=A(E+BA)-1. 于是要证明的是 (E+AB)-1A=A(E+BA)-1. 对此式作恒等变形: (E+AB)-1A=A(E+BA)-1[*]A=(E+AB)A(E+BA)-1 (用E+AB左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A (用E+BA右乘等式两边). 等式A(E+BA)=(E+AB)A.显然成立,于是(E+AB)-1A=A(E+BA)-1成立.

解析
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