2. 考研
  3. 设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)-1是对称矩阵．

设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)-1是对称矩阵．

admin2017-08-07  64
问题 设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)-1是对称矩阵．
选项
答案(E+AB)-1A对称，就是[(E+AB)-1A]T=(E+AB)-1A． [(E+AB)-1A]T=A[(E+AB)-1]T=A[(E+AB)T]-1=A(E+BA)-1． 于是要证明的是 (E+AB)-1A=A(E+BA)-1． 对此式作恒等变形： (E+AB)-1A=A(E+BA)-1[*]A=(E+AB)A(E+BA)-1 (用E+AB左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A (用E+BA右乘等式两边)． 等式A(E+BA)=(E+AB)A．显然成立，于是(E+AB)-1A=A(E+BA)-1成立．
解析
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考研数学一

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