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设A,B都是对称矩阵,并且E+AB可逆,证明(E+AB)-1是对称矩阵.
设A,B都是对称矩阵,并且E+AB可逆,证明(E+AB)-1是对称矩阵.
admin
2017-08-07
25
问题
设A,B都是对称矩阵,并且E+AB可逆,证明(E+AB)
-1
是对称矩阵.
选项
答案
(E+AB)
-1
A对称,就是[(E+AB)
-1
A]
T
=(E+AB)
-1
A. [(E+AB)
-1
A]
T
=A[(E+AB)
-1
]
T
=A[(E+AB)
T
]
-1
=A(E+BA)
-1
. 于是要证明的是 (E+AB)
-1
A=A(E+BA)
-1
. 对此式作恒等变形: (E+AB)
-1
A=A(E+BA)
-1
[*]A=(E+AB)A(E+BA)
-1
(用E+AB左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A (用E+BA右乘等式两边). 等式A(E+BA)=(E+AB)A.显然成立,于是(E+AB)
-1
A=A(E+BA)
-1
成立.
解析
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考研数学一
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