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  3. 已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

admin2019-02-23  49
问题 已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．
选项
答案由已知条件可得｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜AAT｜=｜E｜=1．若｜A｜=1，则｜E—A｜=｜AAT—A｜=｜A(AT—ET)｜=｜A｜.｜A—E｜=｜一(E—A)｜=(一1)2n+1｜E一A｜=一｜E—A｜，从而｜E一A｜=0．若｜A｜=一1，则由｜E+A｜=｜AAT+A｜=｜A(AT+ET)｜=｜A｜.｜A+E｜=一｜E+A｜，可得｜E+A｜=0．又因｜E一A2｜=｜(E—A)(E+A)｜=｜E—A｜.｜E+A｜，所以无论｜A｜为1还是一1，一定有｜E—A2｜=0．
解析
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考研数学二

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