已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

admin2019-02-23 35

问题已知A是2n+1阶正交矩阵，即AA^T=A^TA=E，证明：｜E—A²｜=0．

选项

答案由已知条件可得｜A｜²=｜A｜.｜A^T｜=｜AA^T｜=｜E｜=1．若｜A｜=1，则｜E—A｜=｜AA^T—A｜=｜A(A^T—E^T)｜=｜A｜.｜A—E｜=｜一(E—A)｜=(一1)²ⁿ⁺¹｜E一A｜=一｜E—A｜，从而｜E一A｜=0．若｜A｜=一1，则由｜E+A｜=｜AA^T+A｜=｜A(A^T+E^T)｜=｜A｜.｜A+E｜=一｜E+A｜，可得｜E+A｜=0．又因｜E一A²｜=｜(E—A)(E+A)｜=｜E—A｜.｜E+A｜，所以无论｜A｜为1还是一1，一定有｜E—A²｜=0．

解析

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