设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．

admin2020-03-16 30

问题设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且

=e⁴，求f(0)，f’(0)，…，f⁽ⁿ⁾(0)．

选项

答案1)先转化已知条件．由[*]=e⁴知 [*] 从而 [*] 再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得[*] 2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系[*]=4+o(1)，并利用xⁿo(1)=o(xⁿ)可得f(x)=4xⁿ+o(xⁿ)．从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f’(0)=0，…，f^(n-1)(0)=0，[*]=4，故f⁽ⁿ⁾(0)=4n!．

解析

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