(2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线，当一π

admin2013-12-18 75

问题 (2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点

的光滑曲线，当一π’’+y+x=0，求y(x)的表达式．

选项

答案由题意，当一π2=一x²+C．又[*][*]代入y²=一x²+C中，得C=π²，从而有y²=一x²+π²．又y=y(x)是区间(一π,π)内过点[*]的光滑曲线，故[*]当0≤x<π时，y^’’+y=0的通解为y=C₁cosx+C₂sinx．设y^’’+y+x=0的特解为y^*=Ax+B，代入方程得(A+1)x+B=0，则A=一1，B=0，即特解为y^’=一x．故可知，微分方程y^’’+y+x=0的通解为y=C₁cosx+C₂sinx—x．因为y=y(x)是区间(一π，π)内的光滑曲线，故其在x=0处连续且可导，且[*]所以根据y(0^-)=y(0⁺)可得C₁=π；根据y_-^’=(0)=y₊^’(0)可得C₂=1综上可知，y(x)的表达式为[*]

解析

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考研数学二

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