计算三重积分(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．

admin2017-07-28 78

问题计算三重积分

(x²+y²+z²)dV，其中Ω={(x，y，z)|x²+y²+z²≤4，x²+y²+z²≤4z}．

选项

答案Ω是两个球体x²+y²+z²≤4与x²+y²+z²≤4z(x²+y²+(z一2)²≤4)的公共部分，两球面的交线是 [*] 图9．32是Ω在yz平面上的截面图． [*] 这里适宜用球坐标变换的情形．这时要用锥面[*](以原点为顶点，通过两球的交线) 将Ω分成Ω=Ω₁∪Ω₂，其中 [*] 见截面图9．33．用球坐标表示 Ω₁：0≤ρ≤2,0≤φ≤[*]，0≤θ≤2π， [*] 其中球面x²+y²+z²=4z的球坐标方程是p=4cosφ，锥面[*] 因此 [*]

解析

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考研数学一

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