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设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (2)若A3β=Aβ,求秩r(A一E)及行列式|A+2E|.
设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (2)若A3β=Aβ,求秩r(A一E)及行列式|A+2E|.
admin
2021-11-09
55
问题
设A为3阶矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α
1
,α
2
,α
3
,令β=α
1
+α
2
+α
3
.
(1)证明:β,Aβ,A
2
β线性无关;
(2)若A
3
β=Aβ,求秩r(A一E)及行列式|A+2E|.
选项
答案
(1)设 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0, ① 由题设Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,3),于是 Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
2
α
3
, A
2
β=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
2
2
α
3
, 代入①式整理得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+ (k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+ (k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0. 因为α
1
,α
2
,α
3
是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cSy4777K
0
考研数学二
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