设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (2)若A3β=Aβ,求秩r(A一E)及行列式|A+2E|.

admin2021-11-09  34

问题 设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α123
    (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关;
    (2)若A3β=Aβ,求秩r(A一E)及行列式|A+2E|.

选项

答案(1)设 k1β+k2Aβ+k3A2β=0, ① 由题设Aαiiαi(i=1,2,3),于是 Aβ=Aα1+Aα2+Aα31α12α22α3, A2β=λ12α122α222α3, 代入①式整理得 (k1+k2λ1+k3λ121+ (k1+k2λ2+k3λ222+ (k1+k2λ3+k3λ323=0. 因为α1,α2,α3是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有 [*]

解析
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