设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

admin2021-11-09 68

问题设A为3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃．
(1)证明：β，Aβ，A²β线性无关；
(2)若A³β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

选项

答案(1)设 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0， ① 由题设Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₂α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₂²α₃，代入①式整理得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+ (k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+ (k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．因为α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*]

解析

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

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