设A、A为同阶可逆矩阵，则( )

admin2018-07-26 42

问题设A、A为同阶可逆矩阵，则( )

选项 A、AB=BA．
B、存在可逆矩阵P，使P^－1AP=B．
C、存在可逆矩阵C，使C^TAC=B．
D、存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．

答案D

解析因为，方阵A可逆

A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA=E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB=E．故有PA=MB，

PAM^－1=B，记M^－1=Q，则P、Q可逆，使PAQ=B．于是知D正确．
本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系．注意，A、B为同阶可逆矩阵，则A、B都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知D正确．但A、B却未必相似，故B不对；也未必合同，故C不对．这里应特别注意，A和B有相同的秩，这只是A与B相似的必要条件而非充分条件，也只是A与B合同的必要条件而非充分条件．至于备选项A，可举反例如下：

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考研数学三

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已知矩阵A=，求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．

设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ=_______．

设随机变量X的分布律为求X的分布函数F(x)，并利用分布函数求P{2＜X≤6}，P{X＜4}，P{1≤X＜5}．

设A是n阶矩阵，Am=0，证明E-A可逆．

设A，B，C均为n阶矩阵，其中C可逆，且ABA=C-1，证明BAC=CAB．

设A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，如AB=0，则r(A)+r(B)≤n．

设A是n阶反对称矩阵，x是n维列向量，如Ax=Y，证明x与y正交．

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