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  3. 设A、A为同阶可逆矩阵，则( )

设A、A为同阶可逆矩阵，则( )

admin2018-07-26  41
问题 设A、A为同阶可逆矩阵，则(    )
选项 A、AB=BA．
B、存在可逆矩阵P，使P－1AP=B．
C、存在可逆矩阵C，使CTAC=B．
D、存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．
答案D
解析 因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA=E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB=E．故有PA=MB，PAM－1=B，记M－1=Q，则P、Q可逆，使PAQ=B．于是知D正确．
本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系．注意，A、B为同阶可逆矩阵，则A、B都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知D正确．但A、B却未必相似，故B不对；也未必合同，故C不对．这里应特别注意，A和B有相同的秩，这只是A与B相似的必要条件而非充分条件，也只是A与B合同的必要条件而非充分条件．至于备选项A，可举反例如下：
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考研数学三

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