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考研
设A、A为同阶可逆矩阵,则( )
设A、A为同阶可逆矩阵,则( )
admin
2018-07-26
66
问题
设A、A为同阶可逆矩阵,则( )
选项
A、AB=BA.
B、存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=B.
C、存在可逆矩阵C,使C
T
AC=B.
D、存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B.
答案
D
解析
因为,方阵A可逆
A与同阶单位阵E行等价,即存在可逆矩阵P,使PA=E.同理,由于B可逆,存在可逆矩阵M,使MB=E.故有PA=MB,
PAM
-1
=B,记M
-1
=Q,则P、Q可逆,使PAQ=B.于是知D正确.
本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系.注意,A、B为同阶可逆矩阵,则A、B都等价于同阶单位阵,由等价的对称性和传递性立即可知D正确.但A、B却未必相似,故B不对;也未必合同,故C不对.这里应特别注意,A和B有相同的秩,这只是A与B相似的必要条件而非充分条件,也只是A与B合同的必要条件而非充分条件.至于备选项A,可举反例如下:
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考研数学三
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