2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值；

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值；

admin2017-06-26  26
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
    Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3
    (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B；
    (Ⅱ)求矩阵A的特征值；
    (Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件并利用矩阵乘法，可得 A(α1，α2，α3)＝(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1＋α2＋α3，2α2＋α3，2α2＋3α3) ＝(α1，α2，α3)[*] 所以B＝[*] (Ⅱ)因为α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，可知矩阵C＝(α1，α2，α3)可逆，且由AC＝CB可得C-1AC＝B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值． 由｜λE－B｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－4)＝0 得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为 λ1＝λ2＝1，λ3＝4． (Ⅲ)对应于λ1＝λ2＝1，解齐次线性方程组(E－B)χ＝0，得基础解系 ξ1＝(－1，1，0)T，ξ2＝(－2，0，1)T 对应于λ3＝4，解齐次线性方程组(4E－B)χ＝0，得基础解系 ξ3＝(0，1，1)T 令矩阵Q＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝[*] 则有Q-1BQ＝[*] 因Q-1BQ＝Q-1C-1ACQ＝(CQ)-1A(CQ)，记矩阵 P＝CQ＝(α1，α2，α3)[*]＝(－α1＋α2，－2α1＋α3，α2＋α3) 则有P-1AP＝Q-1BQ＝diag(1，1，4)为对角矩阵，故P即为所求的可逆矩阵．
解析
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考研数学三

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