设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，证明BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2018-12-19 62

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，证明B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则r(B^TAB)=n，因为r(B^TAB)≤r(B)≤n，故有r(B)=n。充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，故B^TTAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有x^T(B^TAB)x=(Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cVj4777K

考研数学二

相关试题推荐

微分方程yˊˊ－3yˊ+2y=2ex满足=1的特解为________．
(2010年)(Ⅰ)比较∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]ndt与∫01tn｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由；(Ⅱ)记un＝∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]ndt(n＝1，2，…)，求极限un．
(2011年)设向量组α1＝(1，0，1)T，α2(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，
(2006年)证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb＋2cosb＋π6＞asina＋2cosa＋πa．
(1997年)已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋e－χ，y3＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，Aij是A＝(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝χiχj．(1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式，并证
设Ik=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有
设f’(x)=arcsin(x一1)2且f(0)=0，求I=∫01f(x)dx．
当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为______。
对于实数x＞0，定义对数函数依此定义试证：

随机试题

关系中每一个属性都有一个取值范围，称为属性的________。
一住店客人未付房钱即要离开旅馆去车站，旅馆服务员见状揪住他不让走，并打报警电话。客人说：“你不让我走还限制我自由，我要告你们旅馆，耽误了乘火车要你们赔偿。”旅馆这样做的性质应如何认定？　　
()属于后生动物。
在对标书详细评审中，技术评审的主要内容包括投标书的技术方案、技术措施、组织机构、进度及()等进行分析评价。
某企业以8%的年利率借得100000元,投资于某个寿命为5年的项目上,为使该项目有利可图,每年至少应收回的现金数额为()元。
剧烈运动时血浆的pH值()。
读某“科学园区开发成功的区位因素表”和“技术城结构示意图”，分析回答下列问题。该科学园为新兴工业区。据表说明该类工业区的交通运输特点。
全国法院坚持问题导向，梳理原因，对症施策，精准执行，形成了一个“党委领导、人大监督、政府支持、政法委协调、法院主办、部门配合、社会各界参与”的执行工作大格局，______________了一套完善的执行工作体制机制，______________了一批完备的
已知α1＝(1，0，0)T，α2＝(1，2，－1)T，α3＝(－1，1，0)T，且Aα1＝(2，1)T，Aα2＝(－1，1)T，Aα3＝(3，－4)T，则A＝_______．
A、Itwasmadebyawell-knownartist.B、Itishand-painted.C、Itisfromanothercountry.D、Itisrare.B细节题。女士想要买那个瓷盘(potteryp

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，证明BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

考研数学二

微分方程yˊˊ－3yˊ+2y=2ex满足=1的特解为________．

(2010年)(Ⅰ)比较∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]ndt与∫01tn｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由；(Ⅱ)记un＝∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]ndt(n＝1，2，…)，求极限un．

(2011年)设向量组α1＝(1，0，1)T，α2(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，

(2006年)证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb＋2cosb＋π6＞asina＋2cosa＋πa．

(1997年)已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋e－χ，y3＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，Aij是A＝(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝χiχj．(1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式，并证

设Ik=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有

设f’(x)=arcsin(x一1)2且f(0)=0，求I=∫01f(x)dx．

当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为______。

对于实数x＞0，定义对数函数依此定义试证：

关系中每一个属性都有一个取值范围，称为属性的________。

一住店客人未付房钱即要离开旅馆去车站，旅馆服务员见状揪住他不让走，并打报警电话。客人说：“你不让我走还限制我自由，我要告你们旅馆，耽误了乘火车要你们赔偿。”旅馆这样做的性质应如何认定？

()属于后生动物。

在对标书详细评审中，技术评审的主要内容包括投标书的技术方案、技术措施、组织机构、进度及()等进行分析评价。

某企业以8%的年利率借得100000元,投资于某个寿命为5年的项目上,为使该项目有利可图,每年至少应收回的现金数额为()元。

剧烈运动时血浆的pH值()。

读某“科学园区开发成功的区位因素表”和“技术城结构示意图”，分析回答下列问题。该科学园为新兴工业区。据表说明该类工业区的交通运输特点。

已知α1＝(1，0，0)T，α2＝(1，2，－1)T，α3＝(－1，1，0)T，且Aα1＝(2，1)T，Aα2＝(－1，1)T，Aα3＝(3，－4)T，则A＝_______．

A、Itwasmadebyawell-knownartist.B、Itishand-painted.C、Itisfromanothercountry.D、Itisrare.B细节题。女士想要买那个瓷盘(potteryp

一住店客人未付房钱即要离开旅馆去车站，旅馆服务员见状揪住他不让走，并打报警电话。客人说：“你不让我走还限制我自由，我要告你们旅馆，耽误了乘火车要你们赔偿。”旅馆这样做的性质应如何认定？　　