设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

admin2017-06-14 44

问题设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

选项

答案令λ为BA的一个非零特征值，α是BA的属于λ的特征向量，则BAα=λα(α≠0)．在此等式两端左乘矩阵A，则 A(BAα)=AB(Aα)=λ(Aα)(α≠0) 再证Aα≠0．事实上，若Aα=0，则 BAα=B．0=0=λα(α≠0)，于是λ=0，矛盾．所以Aα≠0．于是λ为AB的非零特征值，且Aα是AB的属于λ的特征向量．同理可证，AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值，故AB与BA有相同非零特征值．如β是AB的属于λ的特征向量，则Bβ是BA的属于λ的特征向量．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cpu4777K

考研数学一

相关试题推荐

将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为___________.
设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1/2，则μ=___________.
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)：②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(
设求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵曰的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；
设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

随机试题

如无例外情形，在下述哪种情况下，乙公司发出的承诺通知才可视为有效：如果甲公司因考虑到市场容量有限，决定节前不再生产月饼，在8月6日又向乙公司发出一份加急信，表示取消订货。又假设甲公司的要约没有规定10天的承诺期。则在以下哪些情形之下甲公司发出的加急信不
依法必须进行招标的项目，招标人应当自确定中标人之日起()日内，向有关行政监督部门提交招标情况的书面报告。
修订后的《中国人民银行法》规定，中国人民银行的职责有()。
习近平总书记在纪念马克思诞辰200周年大会上讲话时指出，()是马克思主义最鲜明的品格。
苏俄是怎样实现由战时共产主义政策到新经济政策的转变的?
n为自然数，证明：
[*]
TheEconomistcalculatesthataroundtheworldalmost290million15-to24-year-oldsareneitherworkingnorstudying:almosta
将数据库表从数据库移出后，该表被______。
Nooneshouldbeforcedtowearauniformunderanycircumstance.Uniformsaredemandingtothehumanspiritandtotallyunn

最新回复(0)

设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

考研数学一

将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为___________.

设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1/2，则μ=___________.

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)：②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(

设求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵曰的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;

k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

依法必须进行招标的项目，招标人应当自确定中标人之日起()日内，向有关行政监督部门提交招标情况的书面报告。

修订后的《中国人民银行法》规定，中国人民银行的职责有()。

习近平总书记在纪念马克思诞辰200周年大会上讲话时指出，()是马克思主义最鲜明的品格。

苏俄是怎样实现由战时共产主义政策到新经济政策的转变的?

n为自然数，证明：

[*]

TheEconomistcalculatesthataroundtheworldalmost290million15-to24-year-oldsareneitherworkingnorstudying:almosta

将数据库表从数据库移出后，该表被______。

Nooneshouldbeforcedtowearauniformunderanycircumstance.Uniformsaredemandingtothehumanspiritandtotallyunn