设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

admin2017-06-14 28

问题设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

选项

答案令λ为BA的一个非零特征值，α是BA的属于λ的特征向量，则BAα=λα(α≠0)．在此等式两端左乘矩阵A，则 A(BAα)=AB(Aα)=λ(Aα)(α≠0) 再证Aα≠0．事实上，若Aα=0，则 BAα=B．0=0=λα(α≠0)，于是λ=0，矛盾．所以Aα≠0．于是λ为AB的非零特征值，且Aα是AB的属于λ的特征向量．同理可证，AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值，故AB与BA有相同非零特征值．如β是AB的属于λ的特征向量，则Bβ是BA的属于λ的特征向量．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cpu4777K

考研数学一

相关试题推荐

设已知线性方程组Ax=b存在2个小吲的解．求λ，a；
设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量口是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值A的特征向量是
已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；
设a1，a2，…，at为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a1，β+a2，…，β+at线性无关．
k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．
(2010年试题，17)(I)比较的大小，说明理由．(Ⅱ)设求极限
(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

随机试题

全塑市话电缆由哪些颜色组成?
矩阵型组织结构的优点有()
感受寒邪或过食生冷，发病急骤，体质壮实者多形成寒邪袭于肌表出现恶寒发热无汗身痛者多为
颞下颌关节复发性脱位的病因中哪一项是错误的
属于二氢吡啶类的钙拮抗药是
我国期货客户采用的下单方式包括()。
下列关于我国各省市的说法正确的是：
一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回．当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍?
设讨论函数f(x)在x=0处的可导性．
WhatpercentageoftheworkforceinSingaporeareforclericalorofficejobs?Whereisthecinema?

最新回复(0)

设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

考研数学一

设已知线性方程组Ax=b存在2个小吲的解．求λ，a；

设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；

设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量口是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值A的特征向量是

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

设a1，a2，…，at为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a1，β+a2，…，β+at线性无关．

k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

(2010年试题，17)(I)比较的大小，说明理由．(Ⅱ)设求极限

(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

全塑市话电缆由哪些颜色组成?

矩阵型组织结构的优点有()

感受寒邪或过食生冷，发病急骤，体质壮实者多形成寒邪袭于肌表出现恶寒发热无汗身痛者多为

颞下颌关节复发性脱位的病因中哪一项是错误的

属于二氢吡啶类的钙拮抗药是

我国期货客户采用的下单方式包括()。

下列关于我国各省市的说法正确的是：

设讨论函数f(x)在x=0处的可导性．

WhatpercentageoftheworkforceinSingaporeareforclericalorofficejobs?Whereisthecinema?