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设η1，η2，η3，η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是( )
设η1，η2，η3，η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是( )
admin
2018-05-17
46
问题
设η
1
，η
2
，η
3
，η
4
是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是( )
选项
A、η
1
一η
2
，η
2
+η
3
，η
3
一η
4
，η
4
+η
1
。
B、η
1
+η
2
，η
2
+η
3
+η
4
，η
1
一η
2
+η
3
。
C、η
1
+η
2
，η
2
+η
3
，η
3
+η
4
，η
4
+η
1
。
D、η
1
+η
2
，η
2
一η
3
，η
3
+η
4
，η
4
+η
1
。
答案
D
解析
由已知条件知Ax=0的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项B中仅三个解向量，个数不合要求，故排除B项。
选项A和C中，都有四个解向量，但因为
(η
1
一η
2
)+(η
2
+η
3
)一(η
3
一η
4
)一(η
4
+η
1
)=0，(η
1
+η
2
)一(η
2
+η
3
)+(η
3
+η
4
)一(η
4
+η
1
)=0，
说明选项A、C中的解向量组均线性相关，因而排除A项和C项。用排除法可知选D。
或者直接地，由
(η
1
+η
2
，η
2
一η
3
，η
3
+η
4
，η
4
+η
1
)=(η
1
，η
2
，η
3
，η
4
)
。
因为
=2≠0，
知η
1
+η
2
，η
2
一η
3
，η
3
+η
4
，η
4
+η
1
线性无关，又因η
1
+η
2
，η
2
一η
3
，η
3
+η
4
，η
4
+η
1
均是Ax=0的解，且解向量个数为4，所以选D。
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