求下列幂级数的和函数并指出收敛域: (Ⅰ)n(n+1)xn.

admin2018-11-21  39

问题 求下列幂级数的和函数并指出收敛域:
(Ⅰ)n(n+1)xn

选项

答案(Ⅰ)为求其和函数,先进行代数运算,使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和.设 [*] =一4ln(1一x),(一1≤x<1),(利用ln(1+t)的展开式) 所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=[*]ln(1—x) =[*]ln(1—x),x∈(—1,1),x≠0. 当x=0时,上面的运算不能进行,然而从原级数看S(0)=a0=1,同时,也容易看出[*]=1.这就说明S(x)在x=0处还是连续的,这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质. [*]

解析
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