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设A=[α1,α2,α3,α4],且 η1=[1,1,1,1]T, η2=[0,1,0,1]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则( ).
设A=[α1,α2,α3,α4],且 η1=[1,1,1,1]T, η2=[0,1,0,1]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则( ).
admin
2022-09-14
41
问题
设A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],且
η
1
=[1,1,1,1]
T
,
η
2
=[0,1,0,1]
T
是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则( ).
选项
A、α
1
,α
3
线性无关
B、α
2
,α
4
线性无关
C、α
4
能被α
2
,α
3
线性表示
D、α
1
,α
2
,α
3
线性无关
答案
C
解析
将η
1
,η
2
代入Ax=0得到α
1
,α
2
,α
3
,α
4
之间的线性关系,再利用叩η
1
,η
2
为Ax=0的基础解系,得到秩(A)=2.利用这些便可判别选项的正确性.
解 因为η
1
,η
2
为齐次线方程组Ax=0的基础解系,可知基础解系含有n一r=2个向量,其中,n=4为齐次方程组未知量的个数,r为系数矩阵A的秩,所以
r一n一2=2.
因此A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]中任意3个向量都线性相关,故(D)不正确.
由Aη
2
=0得α
2
+α
4
=0,可见α
2
,α
4
线性相关,故(B)不正确.再由α
2
+α
4
=0可知,α
4
可以被α
2
线性表示,则α
4
可被α
2
,α
3
线性表示,故(C)正确.
由Aη
1
=0,得
α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=0.
又由Aη
2
=0得α
2
+α
4
=0,所以α
1
+α
3
=0.于是α
1
,α
3
线性相关,故(A)不正确.
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