2. 考研
  3. 设A=[α1，α2，α3，α4]，且 η1=[1，1，1，1]T， η2=[0，1，0，1]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则( )．

设A=[α1，α2，α3，α4]，且 η1=[1，1，1，1]T， η2=[0，1，0，1]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则( )．

admin2022-09-14  49
问题 设A=[α1，α2，α3，α4]，且
    η1=[1，1，1，1]T，
    η2=[0，1，0，1]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则(    )．
选项 A、α1，α3线性无关
B、α2，α4线性无关
C、α4能被α2，α3线性表示
D、α1，α2，α3线性无关
答案C
解析 将η1，η2代入Ax=0得到α1，α2，α3，α4之间的线性关系，再利用叩η1，η2为Ax=0的基础解系，得到秩(A)=2．利用这些便可判别选项的正确性．
    解  因为η1，η2为齐次线方程组Ax=0的基础解系，可知基础解系含有n一r=2个向量，其中，n=4为齐次方程组未知量的个数，r为系数矩阵A的秩，所以
          r一n一2=2．
    因此A=[α1，α2，α3，α4]中任意3个向量都线性相关，故(D)不正确．
    由Aη2=0得α2+α4=0，可见α2，α4线性相关，故(B)不正确．再由α2+α4=0可知，α4可以被α2线性表示，则α4可被α2，α3线性表示，故(C)正确．
    由Aη1=0，得
    α1+α2+α3+α4=0．
    又由Aη2=0得α2+α4=0，所以α1+α3=0．于是α1，α3线性相关，故(A)不正确．
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考研数学二

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