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设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫0xf(t)f’(2a-t)dt,证明: F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a).
设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫0xf(t)f’(2a-t)dt,证明: F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a).
admin
2018-09-25
20
问题
设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫
0
x
f(t)f’(2a-t)dt,证明:
F(2a)-2F(a)=f
2
(a)-f(0)f(2a).
选项
答案
F(2a)-2F(a)=∫
0
2a
f(t)f’(2a-t)dt-2∫
0
a
f(t)f’(2a-t)dt =∫
a
2a
f(t)f’(2a-t)dt-∫
0
a
f(t)f’(2a-t)dt, 其中∫
a
2a
f(t)f’(2a-t)dt=f
2
(a)-f(0)f(2a)+∫
a
2a
f(2a-x)f’(t)dt,所以 原式=f
2
(a)-f(0)f(2a)+∫
a
2a
f(2a-t)f’(t)dt-∫
0
a
f(t)f’(2a-t)dt, 又∫
a
2a
f(2a-t)f’(t)dt[*]∫
0
a
f(u)f’(2a-u)du=∫
0
a
f(t)f’(2a-t)dt,所以 F(2a)-2F(a)=f
2
(a)-f(0)f(2a).
解析
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0
考研数学一
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