2. 考研
  3. 设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解． 用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解． 用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；

admin2021-02-25  58
问题 设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解．
用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；
选项
答案由α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的两个特征值为λ1=2，λ2=6，其对应的特征向量依次为α1=(1，0，0)T，α2=(0，-1，1)T．又由于实二次型f(x1，x2，x3)的秩为2，所以A的另一个特征值为λ3=0，设其对应的特征向量为 α3=(x1，x2，x3)T， 则有[*] 解得特征向量为 [*] [*] 令[*]，则P为正交矩阵，故x=Py为正交变换，该变换将二次型化成标准形为 f(x1，x2，x3)=221+622．
解析 本题考查由正交变换化二次型为标准形的逆问题，由二次型的秩和方程组的解确定二次型的矩阵A的特征值与特征向量．从而求解．
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考研数学二

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