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设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解. 用正交变换将该二次型化成标准形,并写出所用的正交变换和所化的标准形;
设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解. 用正交变换将该二次型化成标准形,并写出所用的正交变换和所化的标准形;
admin
2021-02-25
33
问题
设实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的秩为2,且α
1
=(1,0,0)
T
是(A-2E)x=0的解,α
2
=(0,-1,1)
T
是(A-6E)x=0的解.
用正交变换将该二次型化成标准形,并写出所用的正交变换和所化的标准形;
选项
答案
由α
1
=(1,0,0)
T
是(A-2E)x=0的解,α
2
=(0,-1,1)
T
是(A-6E)x=0的解,得Aα
1
=2α
1
,Aα
2
=6α
2
,于是得A的两个特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,其对应的特征向量依次为α
1
=(1,0,0)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
.又由于实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的秩为2,所以A的另一个特征值为λ
3
=0,设其对应的特征向量为 α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
, 则有[*] 解得特征向量为 [*] [*] 令[*],则P为正交矩阵,故x=Py为正交变换,该变换将二次型化成标准形为 f(x
1
,x
2
,x
3
)=2
2
1
+6
2
2
.
解析
本题考查由正交变换化二次型为标准形的逆问题,由二次型的秩和方程组的解确定二次型的矩阵A的特征值与特征向量.从而求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dl84777K
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考研数学二
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