设函数f(x)可导,且f’(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M处的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x),直线MP以及x轴所围图形的面积与△MTP的面积之比恒为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.

admin2020-05-07  20

问题 设函数f(x)可导,且f’(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M处的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x),直线MP以及x轴所围图形的面积与△MTP的面积之比恒为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.

选项

答案设切点M的坐标为(x,y),则点P的坐标为(x,0);过点M(x,y)的切线方程为Y—y=y’(X一x),即Y=y+y’(X—x) 令y=0得X=x一y/y’,从而知点T的坐标为(x一y/y’,0) △MTP的面积S2(x)=[x一(x一y/y’)]/2·y一y2/2y’ 根据定积分的几何意义知:由曲线y=f(x)直线MP以及x轴所围图形的面积S2(x)为 [*] 由题意知S1(x)/S2(x)=3/2 [*]

解析
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