设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km使(λ1＋k1)α1＋…＋(λm＋km)αm＋(λ1－k1)β1＋…＋(λm－km)βm＝0，则( )．

admin2020-06-05 47

问题设有任意两个n维向量组α₁，α₂，…，α_m和β₁，β₂，…，β_m，若存在两组不全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_m和k₁，k₂，…，k_m使(λ₁＋k₁)α₁＋…＋(λ_m＋k_m)α_m＋(λ₁－k₁)β₁＋…＋(λ_m－k_m)β_m＝0，则( )．

选项 A、α₁，α₂，…，α_m和β₁，β₂，…，β_m都线性相关
B、α₁，α₂，…，α_m和β₁，β₂，…，β_m都线性无关
C、α₁＋β₁，α₂＋β₂，…，α_m＋β_m，α₁－β₁，α₂－β₂，…，α_m－β_m线性无关
D、α₁＋β₁，α₂＋β₂，…，α_m＋β_m，α₁－β₁，α₂－β₂，…，α_m－β_m线性相关

答案D

解析由题设条件可得
λ₁(α₁＋β₁)＋…＋λ_m(α_m＋β_m)＋k₁(α₁－β₁)＋…＋k_m(α_m－β_m)＝0
而由λ₁，λ₂，…，λ_m和k₁，k₂，…，k_m不全为零以及向量组线性相关的定义可知，向量组α₁＋β₁，α₂＋β₂，…，α_m＋β_m，α₁－β₁，α₂－β₂，…，α_m－β_m线性相关，故(D)入选．
选项(B)，(C)显然不正确，因为由条件推不出其中的任意一组向量线性无关．对于选项(A)，当α₁，α₂，…，α_m和β₁，β₂，…，β_m有一个线性无关时，条件也可成立．如令向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关，β₁＝0(此时向量组β₁，β₂，…，β_m线性相关)，取λ₁＝﹣k₁≠0，λ_i＝k_i＝0(i＝2，…，m)，此时题中条件成立，但不能推出α₁，α₂，…，α_m和β₁，β₂，…，β_m都线性相关，故(A)不正确．

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