2. 考研
  3. 设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km使(λ1＋k1)α1＋…＋(λm＋km)αm＋(λ1－k1)β1＋…＋(λm－km)βm＝0，则( )．

设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km使(λ1＋k1)α1＋…＋(λm＋km)αm＋(λ1－k1)β1＋…＋(λm－km)βm＝0，则( )．

admin2020-06-05  24
问题 设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km使(λ1＋k1)α1＋…＋(λm＋km)αm＋(λ1－k1)β1＋…＋(λm－km)βm＝0，则(    )．
选项 A、α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm都线性相关
B、α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm都线性无关
C、α1＋β1，α2＋β2，…，αm＋βm，α1－β1，α2－β2，…，αm－βm线性无关
D、α1＋β1，α2＋β2，…，αm＋βm，α1－β1，α2－β2，…，αm－βm线性相关
答案D
解析 由题设条件可得
λ1(α1＋β1)＋…＋λm(αm＋βm)＋k1(α1－β1)＋…＋km(αm－βm)＝0
而由λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km不全为零以及向量组线性相关的定义可知，向量组α1＋β1，α2＋β2，…，αm＋βm，α1－β1，α2－β2，…，αm－βm线性相关，故(D)入选．
选项(B)，(C)显然不正确，因为由条件推不出其中的任意一组向量线性无关．对于选项(A)，当α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm有一个线性无关时，条件也可成立．如令向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1＝0(此时向量组β1，β2，…，βm线性相关)，取λ1＝﹣k1≠0，λi＝ki＝0(i＝2，…，m)，此时题中条件成立，但不能推出α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm都线性相关，故(A)不正确．
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