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设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km使(λ1＋k1)α1＋…＋(λm＋km)αm＋(λ1－k1)β1＋…＋(λm－km)βm＝0，则( )．
设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，km使(λ1＋k1)α1＋…＋(λm＋km)αm＋(λ1－k1)β1＋…＋(λm－km)βm＝0，则( )．
admin
2020-06-05
31
问题
设有任意两个n维向量组α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
，若存在两组不全为零的数λ
1
，λ
2
，…，λ
m
和k
1
，k
2
，…，k
m
使(λ
1
＋k
1
)α
1
＋…＋(λ
m
＋k
m
)α
m
＋(λ
1
－k
1
)β
1
＋…＋(λ
m
－k
m
)β
m
＝0，则( )．
选项
A、α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
都线性相关
B、α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
都线性无关
C、α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性无关
D、α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性相关
答案
D
解析
由题设条件可得
λ
1
(α
1
＋β
1
)＋…＋λ
m
(α
m
＋β
m
)＋k
1
(α
1
－β
1
)＋…＋k
m
(α
m
－β
m
)＝0
而由λ
1
，λ
2
，…，λ
m
和k
1
，k
2
，…，k
m
不全为零以及向量组线性相关的定义可知，向量组α
1
＋β
1
，α
2
＋β
2
，…，α
m
＋β
m
，α
1
－β
1
，α
2
－β
2
，…，α
m
－β
m
线性相关，故(D)入选．
选项(B)，(C)显然不正确，因为由条件推不出其中的任意一组向量线性无关．对于选项(A)，当α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
有一个线性无关时，条件也可成立．如令向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，β
1
＝0(此时向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性相关)，取λ
1
＝﹣k
1
≠0，λ
i
＝k
i
＝0(i＝2，…，m)，此时题中条件成立，但不能推出α
1
，α
2
，…，α
m
和β
1
，β
2
，…，β
m
都线性相关，故(A)不正确．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e8v4777K
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考研数学一
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