设A是3阶矩阵，Ax=0有通解是k1ξ1+k2ξ2+Aξ3=ξ3，则存在可逆阵P，使得其中P是( )

admin2014-04-16 57

问题设A是3阶矩阵，Ax=0有通解是k₁ξ₁+k₂ξ₂+Aξ₃=ξ₃，则存在可逆阵P，使得

其中P是( )

选项 A、[ξ₁,ξ₂，ξ₁+ξ₃]．
B、[ξ₂，ξ₃，ξ₁]．
C、[ξ₁+ξ₂，－ξ₂,2ξ₃]
D、[ξ₁+ξ₂，ξ₂一ξ₃，ξ₃]．

答案C

解析 ξ₁，ξ₂是A的对应于λ₁=0的线性无关的特征向量，ξ₃是A的对应于λ₂=1的特征向量，且注意下列概念：
①A的同一个特征值对应的特征向量，如λ=0，ξ₁，ξ₂是特征向量，则k₁ξ₁+k₂ξ₂为非零向量时，仍是A的特征向量．若是λ=1对应的特征向量，则kξ₃仍是λ=1的特征向量，k为非零任意常数．
②对不同特征值λ₁≠λ₂，则对应的特征向量之和，如ξ₁+ξ₃，ξ₂一ξ₃等不再是A的特征向量．
③P中的特征向量排列次序应与对角阵中λ的排列次序一致．由上述三条知应选三条因C中，ξ₁+ξ₂，一ξ₂仍是λ=0的特征向量，2ξ₂仍是λ=1的特征向量．且与对角阵中特征值的排列次序一致，故应选C．A中ξ₁+ξ₃不是特征向量，D中ξ₂一ξ₃不是特征向量，B中ξ₃，ξ₁对应的特征值的排列次序不一致，故都是错误的．

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考研数学二

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