设α1，α2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α1+α2不是矩阵A的特征向量。

admin2020-03-16 27

问题设α₁，α₂是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α₁+α₂不是矩阵A的特征向量。

选项

答案设Aα₁=λ₁α₁，Aα₂=λ₂α₂，且λ₁≠λ₂，假设α₁+α₂是矩阵A属于特征值μ的特征向量，即 A(α₁+α₂)=μ(α₁+α₂)。再由 A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=λ₁α₁+λ₂α₂ 得 (μ—λ₁)α₁+(μ—λ₂)α₂=0。因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 μ—λ₁=0，μ—λ₂=0[*]μ=λ₁=λ₂，这与λ₁≠λ₂相矛盾。所以假设不成立，即α₁+α₂不是A的特征向量。

解析

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