设A为n阶非零实方阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A=AT时，证明｜A｜≠0．

admin2016-04-11 55

问题设A为n阶非零实方阵，A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵，当A^*=A^T时，证明｜A｜≠0．

选项

答案由公式AA^T=｜A｜E，得AA^T=｜A｜E，若｜A｜=0，则有AA^T=O，设A的第i个行向量为α_i(i=1，2，…，，z)，则由AA^T的第i行第i列处的元素为零，有α_i^Tα_i=‖α_i‖=0，(i=1，2，…，n)，即α_i=0，i=1，2，…，n，于是A=0，这与已知A为非零阵矛盾，故｜A｜≠0．

解析本题主要考查伴随矩阵的概念和性质．注意A^*的第i行第j列处元素为A_ij，伴随矩阵的定义及公式AA^*=A^*A=｜A｜E是处理逆矩阵及伴随矩阵有关问题的基本出发点，必须深刻理解、熟练掌握．例如，当｜A｜≠0时，由上述公式可得几个常用的结果：①A^—1=

；③｜A^*｜=｜A｜^N—1(当｜A｜=0时可证明｜A^*｜=0，故此公式对任何n(n≥2)阶方阵A恒成立)；④(A^*)^*=｜A｜^n—2A(由(A^*)^—1=

，于是有(A^*)^*=｜A｜^n—2A)．
　　还需指出的是，满足本题给定条件的实矩阵A，实际上是行列式为1的正交矩阵．事实上，由已知的关系式A^T=A^*两端取行列式，得｜A｜=｜A^T｜=｜A^*=｜A｜^n—1，因此｜A｜的取值范围是{0，1，一1}。

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考研数学一

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设有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

设k＞0，则函数f(x)=lnx－+k的零点个数为()。

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。

设容器的内表面是由曲线x=y+siny(0≤y≤π/2)绕y轴旋转一周所得的旋转曲面，若以π(m3／s)的速率注入液体。问需要多少时间能将容器注满水。

设曲线xy=1(x＞0)上点P0(x0，y0)使得函数x2+2y2达到最小值，则点P0的坐标为()

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设D是由x≥0，y≥x与x2+(y－b)2≤b2，x2+(y－a)2≥a2(0＜a＜b)所围成的平面区域，求xydxdy．

已知电源电压X服从正态分布N(220，252)，在电源电压处于X≤200V，200V＜X＜240V，X＞240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别0．1，0．01，0．2．(1)试求该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200

从5个数：1，2，3，4，5中任取3个数，再按从小到大排列，设X表示中间那个数，求X的概率分布．

急性肾小球肾炎中医辨证分型除风水相搏外尚有

甲公司在一次省政府所举行的管道燃气供应的招标活动中中标，但参加投标活动的乙公司对此次招标活动不满，欲向省政府就此次招标活动申请听证。下列各选项中正确的是：

不论是由建设工程参与方的哪一方提出的设计变更，作出变更决定后都应由(　　)签发《工程变更单》，指示承包单位按变更的决定组织方可施工。

()是指由财政部发行的，有固定面值及票面利率，通过纸质媒介记录债权债务的国债。

学生的权利有哪些?

课程目标的基本特征有哪些?

对违法犯罪分子的改造工作，是()的特殊预防工作。

某投资者在3个月后将获得一笔资金，并希望用该笔资金进行股票投资。但是，该投资者担心股市整体上涨从而影响其投资成本，在这种情况下，可采取()策略。

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