设A为n阶非零实方阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A=AT时，证明｜A｜≠0．

admin2016-04-11 75

问题设A为n阶非零实方阵，A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵，当A^*=A^T时，证明｜A｜≠0．

选项

答案由公式AA^T=｜A｜E，得AA^T=｜A｜E，若｜A｜=0，则有AA^T=O，设A的第i个行向量为α_i(i=1，2，…，，z)，则由AA^T的第i行第i列处的元素为零，有α_i^Tα_i=‖α_i‖=0，(i=1，2，…，n)，即α_i=0，i=1，2，…，n，于是A=0，这与已知A为非零阵矛盾，故｜A｜≠0．

解析本题主要考查伴随矩阵的概念和性质．注意A^*的第i行第j列处元素为A_ij，伴随矩阵的定义及公式AA^*=A^*A=｜A｜E是处理逆矩阵及伴随矩阵有关问题的基本出发点，必须深刻理解、熟练掌握．例如，当｜A｜≠0时，由上述公式可得几个常用的结果：①A^—1=

；③｜A^*｜=｜A｜^N—1(当｜A｜=0时可证明｜A^*｜=0，故此公式对任何n(n≥2)阶方阵A恒成立)；④(A^*)^*=｜A｜^n—2A(由(A^*)^—1=

，于是有(A^*)^*=｜A｜^n—2A)．
　　还需指出的是，满足本题给定条件的实矩阵A，实际上是行列式为1的正交矩阵．事实上，由已知的关系式A^T=A^*两端取行列式，得｜A｜=｜A^T｜=｜A^*=｜A｜^n—1，因此｜A｜的取值范围是{0，1，一1}。

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考研数学一

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