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  3. 设A为n阶非零实方阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时，证明｜A｜≠0．

设A为n阶非零实方阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时，证明｜A｜≠0．

admin2016-04-11  59
问题 设A为n阶非零实方阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时，证明｜A｜≠0．
选项
答案由公式AAT=｜A｜E，得AAT=｜A｜E，若｜A｜=0，则有AAT=O，设A的第i个行向量为αi(i=1，2，…，，z)，则由AAT的第i行第i列处的元素为零，有αiTαi=‖αi‖=0，(i=1，2，…，n)，即αi=0，i=1，2，…，n，于是A=0，这与已知A为非零阵矛盾，故｜A｜≠0．
解析 本题主要考查伴随矩阵的概念和性质．注意A*的第i行第j列处元素为Aij，伴随矩阵的定义及公式AA*=A*A=｜A｜E是处理逆矩阵及伴随矩阵有关问题的基本出发点，必须深刻理解、熟练掌握．例如，当｜A｜≠0时，由上述公式可得几个常用的结果：①A—1=；③｜A*｜=｜A｜N—1(当｜A｜=0时可证明｜A*｜=0，故此公式对任何n(n≥2)阶方阵A恒成立)；④(A*)*=｜A｜n—2A(由(A*)—1=，于是有(A*)*=｜A｜n—2A)．
　　还需指出的是，满足本题给定条件的实矩阵A，实际上是行列式为1的正交矩阵．事实上，由已知的关系式AT=A*两端取行列式，得｜A｜=｜AT｜=｜A*=｜A｜n—1，因此｜A｜的取值范围是{0，1，一1}。
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考研数学一

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