首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r()=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r()=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.
admin
2019-05-14
43
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(
)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n一r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
. 设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程组AX=b的一组解. 令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0, 因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0, 故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组AX=b存在由n一r+1个线性无关的解向量构成的向量组,设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ
1
=β
2
一β
1
,γ
2
=β
3
一β
1
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n一r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n一r+2个解向量都是线性相关的,所以AX=b的线性无关的解向量盼个数最多为n一r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ei04777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设X是连续型随机变量,且已知lnX服从正态分布N(μ,σ2),求X与X2的期望.
设随机变量(X,Y)在矩形区域D={(χ,y):0<χ<2.0<y<2}上服从均匀分布,(Ⅰ)求U=(X+Y)2的概率密度;(Ⅱ)求V=max(X,Y)的概率密度;(Ⅲ)求W=XY的概率密度.
已知点A与B的直角坐标分别为(2,0,0)与(0,1,2),线段AB绕z轴旋转一周的旋转曲面为S,求由S及两平面z=0,z=2所围成的立体体积.
设Ω是由yz平面内z=0,z=2以及y2-(z-1)2=1所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域.求三重积分,I=(χ2+y2)dV.
设L是平面上从圆周x2+y2=a2上一点到圆周x2+y2=b2上一点的一条光滑曲线(a>0,b>0),r=,则I=∫Lr3(xdx+ydy)=_______.
已知X1,…,Xn是来自总体X容量为n的简单随机样本,其均值和方差分别为与S2.如果EX=μ,DX=σ2,试证明:Xi-与Xj-(i≠j)的相关系数ρ=-
设二维随机变量(X1,Y1)与(X2,Y2)的联合概率密度分别为求:P{Xi>2Yi}(i=1,2).
求下列平面上曲线积分I=∫Ldy,其中L是椭圆周=1,取逆时针方向.
已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关,如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3.
已知A=,A*是A的伴随矩阵,求A*的特征值与特征向量.
随机试题
实行风险代理收费,最高收费金额不得高于收费合同约定标的额的
片剂的干燥粘合剂片剂的崩解剂,吸水膨胀500%.~700%.
我国《刑法》第6条规定,“凡在中华人民共和国领域内犯罪的。除法律有特别规定的以外,都适用本法。”这里所说的法律有特别规定主要是指()
使用市销率法对公司估值的计算式是()。
人的价值就是指个人的价值。()
聘任合同的签订、变更或者解除,应当报()备案。
根据我国《宪法》第13条规定:“公民的合法的私有财产不受侵犯。”《宪法》第10条规定:“国家为了公共利益的需要,可以依照法律规定对土地实行征收或者征用并给予补偿。”下列关于私有财产权的表述,哪一项是不正确的?()
Ads:WllichofthefollowingisNOTshownabove?
下列对IPv6地址的表示中,错误的是()。
A、Verydoubtful.B、Quiteannoyed.C、Somewhatcurious.D、Indifferent.C
最新回复
(
0
)