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已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，试判断α1＋α2，α2＋α3，…，αt-1＋αt，αt＋α1是否为Aχ＝0的基础解系，并说明理由．
已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，试判断α1＋α2，α2＋α3，…，αt-1＋αt，αt＋α1是否为Aχ＝0的基础解系，并说明理由．
admin
2018-06-12
54
问题
已知α
1
，α
2
，…，α
t
是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，试判断α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t-1
＋α
t
，α
t
＋α
1
是否为Aχ＝0的基础解系，并说明理由．
选项
答案
作为齐次方程组AX＝0的基础解系α
1
，α
2
，…，α
t
的线性组合，α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
是AX＝0的一组解，个数＝t＝n－r(A)．α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
是不是AX＝0的基础解系只要判断它们是否线性无关． 设A＝(α
1
，α
2
，…，α
t
)，B＝(α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
)，则B＝AC，其中 [*] 因为α
1
，α
2
，…，α
t
线性无关，所以A列满秩，r(α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
)＝r(B)＝r(C)． ｜C｜＝1＋(－1)
t+1
， 当t是奇数时，｜C｜＝2，C可逆，r(α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
)＝t，α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
线性无关，因此是AX＝0的基础解系． 当t是偶数时，｜C｜＝0，C不可逆，r(α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
)＜t，α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
t
＋α
1
线性相关，因此不是AX＝0的基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OFg4777K
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考研数学一
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