设f(x)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=则F(x)是

admin2020-03-24  42

问题 设f(x)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=则F(x)是

选项 A、单调增加的奇函数.
B、单调增加的偶函数.
C、单调减小的奇函数.
D、单调减小的偶函数.

答案C

解析 对被积函数作变量替换u=x-t,就有

由于f(x)为奇函数,故为奇函数,又因uf(u)为偶函数,从而
为奇函数,所以F(x)为奇函数.又

由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得.从而F’(x)=x[f(ξ)-f(x)],无论x>0,还是x<0,由f(x)单调增加,都有F’(x)<0,从而应选(C).
其实由及f(x)单调增加也可得F’(x)<0.
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