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设f(x)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=则F(x)是
设f(x)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=则F(x)是
admin
2020-03-24
42
问题
设f(x)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=
则F(x)是
选项
A、单调增加的奇函数.
B、单调增加的偶函数.
C、单调减小的奇函数.
D、单调减小的偶函数.
答案
C
解析
对被积函数作变量替换u=x-t,就有
由于f(x)为奇函数,故
为奇函数,又因uf(u)为偶函数,从而
为奇函数,所以F(x)为奇函数.又
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得
.从而F’(x)=x[f(ξ)-f(x)],无论x>0,还是x<0,由f(x)单调增加,都有F’(x)<0,从而应选(C).
其实由
及f(x)单调增加也可得F’(x)<0.
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考研数学三
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