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  3. 设f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=.证明：存在ζ∈(0,1),使

设f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=.证明：存在ζ∈(0,1),使

admin2021-07-08  48
问题 设f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=.证明：存在ζ∈(0,1),使  
选项
答案由积分中值定理,存在η∈[*]使得[*]x3f(x)dx=η3f(η). 令F(x)=x3f(x),因为f(1)—[*]x3f(x)dx=0,故有f(1)=η3f(η),即F=F(η). 显然F(x)在[0,1]上可导,由罗尔定理得,存在ε∈(η,1)[*](0,1),使得F’(ε)=0,即 3ε2f(ε)+ε3f’(ε)=0 即[*]故命题得证.
解析
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考研数学二

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