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  3. 设线性方程组 已知[1，－1，1，－1]T是该方程组的一个解，试求： (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．

设线性方程组 已知[1，－1，1，－1]T是该方程组的一个解，试求： (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．

admin2020-03-10  141
问题 设线性方程组
         
已知[1，－1，1，－1]T是该方程组的一个解，试求：
    (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
    (2)该方程组满足x2=x3的全部解．
选项
答案本题是含有两个参数的非齐次线性方程组，先由题设η0=[1，－1，1，－1]T是其特解求出λ与μ的关系，将方程组化为只含一个参数的方程组．事实上，将η0代入方程组①，得到－λ+μ=0，即λ=μ． 因方程组①是由4个未知数和3个方程组成的方程组，故只能用初等行变换，将其增广矩阵[*]化为阶梯形矩阵(含最高阶单位矩阵的矩阵)求其解． [*] (1)当λ≠1／2时，将[*]用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，即 [*] 故[*]未知量的个数4，此时方程组有无穷多解，其全部解为 X=kα+η1=k[－1，1／2，－1／2，1]T+[0，－1／2，1／2，0]T， k为任意常数． 当λ=1／2时，则由[*]的表示式得到含最高阶单位矩阵的矩阵，即 [*] 因而方程组①的全部解为 X=[－1／2，1，0，0]T+k1[1，－3，1，0]T+k2[－1／2，－1，0，1]T， k1，k2为任意常数． (2)当λ≠1／2时，方程组①的全部解为 X=[－k，k／2－1／2，1／2－k／2，k]T， k为任意常数． 由x2=x3即k／2－1／2=1／2=k／2得到k=1．于是方程组①满足x2=x3的解为 η=[－1，0，0，1]T． 当λ=1／2时，方程组①的全部解为X=[－1／2+k1－k2／2，1－3k1－k2，k1，k2]T． 由x2=x3即k1=1－3k1－k2得到k1=(1－k2)／4，则λ=1／2时，方程组①满足x2=x3的全部解为 X=[－1／2，1，0，0]T+(1／4－k2／4)[1，－3，1，0]T+k2[－1／2，－1，0，1]T =[－1／4，1／4，1／4，0]T+k2[－3／4，－1／4，－1／4，1]T， k2为任意常数．
解析
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考研数学三

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