[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

admin2019-04-15 104

问题 [2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是( )．

选项 A、P^-1α
B、P^Tα
C、Pα
D、(P^-1)^Tα

答案B

解析解一  由题设有Aα=λα，且A^T=A，令B=(P^-1AP)^T，则
         B=(P^-1AP)^T=P^TA^T(P^-1)^T=P^TA(P^T)^-1，  A=(P^T)^-1BP^T，
故Aα=(P^T)^-1BP^Tα，即(P^T)^-1B(P^Tα)=λα．两边左乘P^T，得到B(P^Tα)=λP^Tα．
又P^Tα≠0．事实上，如P^Tα=0，则由P为可逆矩阵知，P^T也为可逆矩阵，于是有(P^T)^-1P^Tα=(P^T)^-10=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故P^Tα为矩阵B=(P^-1AP)^T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．
解二  用定义(P^-1AP)^TX=λX判别．当X=P^Tα时，计算(P^-1AP)^T(P^Tα)时看其是否为P^-1^Tα的λ倍．事实上，有
         (P^-1AP)^T(P^Tα)=P^TA ^T(P^-1)^T(P^Tα)=P^TA(P^T)^-1P^Tα=P^T(Aα)=λP^Tα．
又P^T^T≠0．因而P^T^T是(P^TAP)^-1的属于特征值λ的特征向量．
解三  为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P^-1AP)^T－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=P^T^T，有
            [(P^-1AP)^T－λE](P^Tα)=[P^TA(P^T)^-1P^Tα－λP^Tα]=P^TAα－λP^Tα=λP^Tα－λP^Tα=0．
易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又P^Tα≠0．仅(B)入选．

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考研数学三

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