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[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．
[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．
admin
2019-04-15
105
问题
[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P
-1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )．
选项
A、P
-1
α
B、P
T
α
C、Pα
D、(P
-1
)
T
α
答案
B
解析
解一 由题设有Aα=λα，且A
T
=A，令B=(P
-1
AP)
T
，则
B=(P
-1
AP)
T
=P
T
A
T
(P
-1
)
T
=P
T
A(P
T
)
-1
， A=(P
T
)
-1
BP
T
，
故Aα=(P
T
)
-1
BP
T
α，即(P
T
)
-1
B(P
T
α)=λα．两边左乘P
T
，得到B(P
T
α)=λP
T
α．
又P
T
α≠0．事实上，如P
T
α=0，则由P为可逆矩阵知，P
T
也为可逆矩阵，于是有(P
T
)
-1
P
T
α=(P
T
)
-1
0=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故P
T
α为矩阵B=(P
-1
AP)
T
的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．
解二 用定义(P
-1
AP)
T
X=λX判别．当X=P
T
α时，计算(P
-1
AP)
T
(P
T
α)时看其是否为P
-1
T
α的λ倍．事实上，有
(P
-1
AP)
T
(P
T
α)=P
T
A
T
(P
-1
)
T
(P
T
α)=P
T
A(P
T
)
-1
P
T
α=P
T
(Aα)=λP
T
α．
又P
T
T
≠0．因而P
T
T
是(P
T
AP)
-1
的属于特征值λ的特征向量．
解三 为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P
-1
AP)
T
－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=P
T
T
，有
[(P
-1
AP)
T
－λE](P
T
α)=[P
T
A(P
T
)
-1
P
T
α－λP
T
α]=P
T
Aα－λP
T
α=λP
T
α－λP
T
α=0．
易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又P
T
α≠0．仅(B)入选．
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考研数学三
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