2. 考研
  3. [2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

admin2019-04-15  112
问题 [2002年]  设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是(    )．
选项 A、P-1α
B、PTα
C、Pα
D、(P-1)Tα
答案B
解析 解一  由题设有Aα=λα，且AT=A，令B=(P-1AP)T，则
             B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，  A=(PT)-1BPT，
故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边左乘PT，得到B(PTα)=λPTα．
    又PTα≠0．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．
    解二  用定义(P-1AP)TX=λX判别．当X=PTα时，计算(P-1AP)T(PTα)时看其是否为P-1Tα的λ倍．事实上，有
             (P-1AP)T(PTα)=PTA T(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα．
又PTT≠0．因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值λ的特征向量．
    解三  为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=PTT，有
              [(P-1AP)T－λE](PTα)=[PTA(PT)-1PTα－λPTα]=PTAα－λPTα=λPTα－λPTα=0．
    易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又PTα≠0．仅(B)入选．
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考研数学三

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