[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

admin2019-04-15 48

问题 [2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是( )．

选项 A、P^-1α
B、P^Tα
C、Pα
D、(P^-1)^Tα

答案B

解析解一  由题设有Aα=λα，且A^T=A，令B=(P^-1AP)^T，则
         B=(P^-1AP)^T=P^TA^T(P^-1)^T=P^TA(P^T)^-1，  A=(P^T)^-1BP^T，
故Aα=(P^T)^-1BP^Tα，即(P^T)^-1B(P^Tα)=λα．两边左乘P^T，得到B(P^Tα)=λP^Tα．
又P^Tα≠0．事实上，如P^Tα=0，则由P为可逆矩阵知，P^T也为可逆矩阵，于是有(P^T)^-1P^Tα=(P^T)^-10=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故P^Tα为矩阵B=(P^-1AP)^T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．
解二  用定义(P^-1AP)^TX=λX判别．当X=P^Tα时，计算(P^-1AP)^T(P^Tα)时看其是否为P^-1^Tα的λ倍．事实上，有
         (P^-1AP)^T(P^Tα)=P^TA ^T(P^-1)^T(P^Tα)=P^TA(P^T)^-1P^Tα=P^T(Aα)=λP^Tα．
又P^T^T≠0．因而P^T^T是(P^TAP)^-1的属于特征值λ的特征向量．
解三  为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P^-1AP)^T－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=P^T^T，有
            [(P^-1AP)^T－λE](P^Tα)=[P^TA(P^T)^-1P^Tα－λP^Tα]=P^TAα－λP^Tα=λP^Tα－λP^Tα=0．
易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又P^Tα≠0．仅(B)入选．

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考研数学三

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[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

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设矩阵A＝有一个特征值为3．(1)求y；(2)求可逆矩阵P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵．

设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…：αn线性无关，举例说明逆命题不成立．

设A，B为n阶矩阵，(1)求P．Q；(2)证明：当P可逆时，Q也可逆．

设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)－1＝______．

设f(x)＝，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x＝0处()．

设直线y＝kx与曲线y＝所围平面图形为D1，它们与直线x＝1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求此时的D1＋D2．

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将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()

设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．

(2016年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)=1，则()

沙叶新话剧《陈毅市长》中故事发生的时间是()

中国最早出现专卖店是在_____。

消费者有必要和可能花较多的时间和精力去许多家商店物色合适的物品，则该物品是()

设50件产品中，45件是正品，5件是次品．从中任取3件，求其中至少有1件是次品的概率．(准确到0．01)

患者，男，40岁。因诊断需要行脊髓腔穿刺检查，检查后嘱患者取去枕平卧位6小时，其主要目的是

一个车祸的患者由同事送来医院急诊科。患者生命体征暂时平稳，但昏迷不醒，现在需要行头颅CT。患者身上没有钱和身份证，患者同事也说没带钱。此时，作为急诊医生，最合适的做法是：

引起某一民事法律关系()称为民事法律事实构成。

关于工期索赔，下列说法正确的是()。

糖精()

刚见面，张家界就责问我为何_。说来惭愧，二十六年来，我本来有机会一睹她的_，只要往前再迈出半步。填入划横线部分最恰当的一项是()。

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