设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为 (1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出． (2)求Anβ(n为自然数)．

admin2016-04-11 70

问题设3阶矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，对应的特征向量依次为

(1)将β用ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表出．
(2)求Aⁿβ(n为自然数)．

选项

答案设β=x₁ξ₁+x₂ξ₂+x₃ξ₃，即 [*] 得唯一解x₁=2，x₂=一2，x₃=1，故β=2ξ₁一2ξ₂+ξ₃． (2)Aⁿβ=Aⁿ(2ξ₁一2ξ₂+ξ₃)．由于 Aξ_i=λ₁ξ_i，Aⁿξ_i=λ_iⁿξ_i，(i=1，2，3) 故 Aⁿβ=2Aⁿξ₁一2Aⁿξ₂+Aⁿξ₃=2λ₁ⁿξ₁一2λ₂ⁿξ₂+λ₃ⁿξ₃ =[*]

解析

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考研数学一

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