设在区间(－∞,+∞)内f(x)与g(x)均可导，且f(x)＜g(x)，a,b,x0都是实数，则( )。

admin2022-03-23 50

问题设在区间(－∞,+∞)内f(x)与g(x)均可导，且f(x)＜g(x)，a,b,x₀都是实数，则( )。

选项 A、f’(x)＜g’(x)
B、∫₀^af(x)dx＜∫_a^bg(x)dx
C、

D、以上没有一项是对的

答案C

解析 f(x)=－e^-x,g(x)=e^-x,f(x)－g(x)=－2e^-x＜0,f(x)＜g(x)
而f’(x)=e^-x,g’(x)=－e^-x,f’(x)－g’(x)=2e^-x＞0，f’(x)＞g’(x)
A不成立。
B容易迷惑。事实上，B中未说a是否小于b，如果a＞b,则由f(x)＜g(x)恰恰得到∫_a^bf(x)dx＞∫_a^bg(x)dx，所以B不成立。
由不等式f(x)＜g(x)两边取极限，一般得到

似乎应有等号，但由于f(x),g(x)均连续，且题设对一切x，均有f(x)＜g(x)，于是由上式左右两边分别得到f(x₀)与g(x₀)，得到的是f(x₀)＜g(x₀),所以C正确。

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考研数学三

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