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设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c; (2)存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c; (2)存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
admin
2022-08-19
72
问题
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c;
(2)存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
选项
答案
(1)令ψ(x)=f(x)-1+2x,ψ(0)=-1,ψ(1)=2,因为ψ(0)ψ(1)<0,所以存 在c∈(0,1),使得ψ(c)=0,于是f(c)=1-2c. (2)因为f(x)∈c[0,2],所以f(x)在f[0,2]上取到最小值m和最大值M, 由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤[2f(0)+f(1)+3f(2)]/6≤m, 由介值定理,存在ξ∈[0,2],使得[2f(0)+f(1)+3f(2)]/6=f(ξ), 于是2f(0)4+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
解析
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考研数学三
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