2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).

设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).

admin2022-08-19  106
问题 设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.证明：
(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c；
(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
选项
答案(1)令ψ(x)=f(x)-1+2x，ψ(0)=-1，ψ(1)=2，因为ψ(0)ψ(1)＜0，所以存 在c∈(0，1)，使得ψ(c)=0，于是f(c)=1-2c. (2)因为f(x)∈c[0，2]，所以f(x)在f[0，2]上取到最小值m和最大值M， 由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤[2f(0)+f(1)+3f(2)]/6≤m， 由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得[2f(0)+f(1)+3f(2)]/6=f(ξ)， 于是2f(0)4+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
解析
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考研数学三

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