[2004年3] 设n阶矩阵A与B等价,则必有( ).

admin2021-01-19  31

问题 [2004年3]  设n阶矩阵A与B等价,则必有(    ).

选项 A、当∣A∣=a(a≠0)时,∣B∣=a
B、当∣A∣=a(a≠0)时,∣B∣=一a
C、当∣A∣≠0时,∣B∣=0
D、当∣A∣=0时,∣B∣=0

答案D

解析 由矩阵等价的定义及其性质求解.
    解一  因A与B等价,其秩必相等.当∣A∣=0时,秩∣A∣<n,故秩(B)<n,于是∣B∣=0.所以选项(D)正确.或由命题2.2.5.4(1)即得(D)入选.
    解二  因A与B等价,由矩阵等价的必要条件(见命题2.2.5.3(4))知,存在可逆阵P与Q,使得A=PBQ,两边取行列式得∣A∣=∣P∣∣B∣∣Q∣,而∣P∣≠0,∣Q∣≠0,因而∣A∣与∣B∣同时为零或同时不为零,故当∣A∣=0时,必有∣B∣=0.仅(D)入选.
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