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设A为n阶方阵,且A+E与A—E均可逆,则下列等式中不成立的是( )
设A为n阶方阵,且A+E与A—E均可逆,则下列等式中不成立的是( )
admin
2020-03-01
59
问题
设A为n阶方阵,且A+E与A—E均可逆,则下列等式中不成立的是( )
选项
A、(A+E)
2
(A—E)=(A—E)(A+E)
2
。
B、(A+E)
-1
(A—E)=(A—E)(A+E)
-1
。
C、(A+E)
T
(A—E)=(A—E)(A+E)
T
。
D、(A+E)(A—E)
*
=(A—E)
*
(A+E)。
答案
C
解析
由A与E可交换可得,A+E与A—E可交换,进而(A+E)
2
与A—E也可交换,故选项A正确。
显然,(A一E)(A+E)=(A+E)(A—E)。若在等式两边同时左、右乘(A+E)
一1
,可得(A+E)
一1
(A—E)=(A—E)(A+E)
一1
;若先在等式两边同时左、右乘(A—E)
一1
,可得(A+E)
(A—E)
一1
=(A—E)
一1
(A+E),再在所得的等式两边同时乘以|A—E|,即得(A+E)(A—E)
*
=(A—E)
*
(A+E)。故选项B,D正确。
事实上,只有当A
T
A=AA
T
时,(A+E)
T
(A一E)=(A—E)(A+E)
T
才成立。而A
T
A=AA
T
不一定成立。例如:取
可见A
T
A≠AA
T
。所以选C。
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考研数学二
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