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下列命题正确的是( ).
下列命题正确的是( ).
admin
2022-09-14
73
问题
下列命题正确的是( ).
选项
A、若f(χ)在χ
0
处可导,则一定存在δ>0,在|χ-χ
0
|<δ内f(χ)可导
B、若f(χ)在χ
0
处连续,则一定存在δ>0,在|χ-χ
0
|<δ内f(χ)连续
C、若
存在,则f(χ)在χ
0
处可导
D、若f(χ)在χ
0
的去心邻域内可导f(χ)在χ
0
处连续,且
f′(χ)存在,则f(χ)在χ
0
处可导,且f′(χ
0
)=
f′(χ)
答案
D
解析
令f(χ=)
得f(χ)在χ=0处可导(也连续).
对任意的a=0
f(χ)不存在,所以f(χ)在χ=a处不连续,当然也不可导,即χ=0是f(χ)唯一的连续点和可导点,选项A、B不对;
令f(χ)=
显然
=0,因为
f(χ)=0≠f(0),所以f(χ)在χ=0处不连续,当然也不可导,C项不正确;
因为f(χ)在χ
0
处连续且在χ
0
的去心邻域内可导,所以由微分中值定理有f(χ)-f(χ
0
)=f′(ξ)(χ-χ
0
)或者
=f′(ξ),其中ξ介于χ
0
与χ之间,两边取极限得
存在,即f(χ)在χ
0
处可导,且f′(χ
0
)=
f′(χ),故选D.
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0
考研数学二
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