2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝且AB＝O． (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY下二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝且AB＝O． (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY下二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2019-08-23  57
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝且AB＝O．
    (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY下二次型化为标准形；
    (2)求矩阵A．
选项
答案(1)由AB＝O得A[*]＝0，A[*]＝0，即α1＝[*]，α2＝[*]为λ＝0的两个线性无关的特征向量，从而λ＝0为至少二重特征值，又由tr(A)＝1得λ3＝1， 即λ1＝λ2＝0，λ3＝1． 令λ3＝1对应的特征向量为α3＝[*]， 因为AT＝A，所以[*] 解得λ3＝1对应的线性无关的特征向量为α3＝[*]， 令[*] 所求的正交矩阵为Q＝[*] 且XTAX[*]y32． (2)由QTAQ＝[*]得 [*]
解析
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考研数学二

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