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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX,tr(A)=1,又B=且AB=O. (1)求正交矩阵Q,使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形; (2)求矩阵A.
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX,tr(A)=1,又B=且AB=O. (1)求正交矩阵Q,使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形; (2)求矩阵A.
admin
2019-08-23
75
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX,tr(A)=1,又B=
且AB=O.
(1)求正交矩阵Q,使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形;
(2)求矩阵A.
选项
答案
(1)由AB=O得A[*]=0,A[*]=0,即α
1
=[*],α
2
=[*]为λ=0的两个线性无关的特征向量,从而λ=0为至少二重特征值,又由tr(A)=1得λ
3
=1, 即λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=1. 令λ
3
=1对应的特征向量为α
3
=[*], 因为A
T
=A,所以[*] 解得λ
3
=1对应的线性无关的特征向量为α
3
=[*], 令[*] 所求的正交矩阵为Q=[*] 且X
T
AX[*]y
3
2
. (2)由Q
T
AQ=[*]得 [*]
解析
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考研数学二
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