设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝且AB＝O． (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY下二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2019-08-23 71

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX，tr(A)＝1，又B＝

且AB＝O．
(1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY下二次型化为标准形；
(2)求矩阵A．

选项

答案(1)由AB＝O得A[*]＝0，A[*]＝0，即α₁＝[*]，α₂＝[*]为λ＝0的两个线性无关的特征向量，从而λ＝0为至少二重特征值，又由tr(A)＝1得λ₃＝1，即λ₁＝λ₂＝0，λ₃＝1．令λ₃＝1对应的特征向量为α₃＝[*]，因为A^T＝A，所以[*] 解得λ₃＝1对应的线性无关的特征向量为α₃＝[*]，令[*] 所求的正交矩阵为Q＝[*] 且X^TAX[*]y₃²． (2)由Q^TAQ＝[*]得 [*]

解析

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