0，则( )．" />[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分．若△x>0，则( )．
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[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分．若△x>0，则( )．

admin2019-03-30  51
问题 [2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分．若△x>0，则(    )．
选项 A、0＜dy＜△y
B、0＜△y＜dy
C、△y＜dy＜0
D、dy＜△y＜0
答案A
解析 解一  由f’(x)＞0，f"(x)>0知，函数f(x)单调增加，曲线y=f(x)是凹向．作出函数y=f(x)的图形，如图1．2．2．1所示．易看出当△x>0时，有
           
          △y>dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x＞0．仅(A)入选．
    解二  因△y=f(x0+△x)－f(x0)为函数差的形式，这启示我们可用拉格朗日中值定理
          △y=f(x0+△x)－f(x0)=f’(ξ)△x，x0＜ξ＜x＜sub>0+△x
求之．因f"(x)＞0，故f’(x)单调增加，有f’(ξ)＞f’(x0)．又△x＞0。则
          △y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy＞0，  即0＜dy＜△y．
    解三 因题设给出f’(x)＞0，f"(x)＞0，故可用泰勒公式求之．
        f(x0+△x)=f(x0)+f’(x0)△x+f"(ξ)△x2＞f(x0)+f’(x0△x，
即    f(x0+△x)－f(x0)=△y＞f’(x0)△x=dy．
又因△x＞0，f’(x)＞0，有dy＞0，故仅(A)入选．
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考研数学三

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