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[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在点x0处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分.若△x>0,则( ).
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0,则( ).">[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在点x0处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分.若△x>0,则( ).
[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在点x0处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分.若△x>0,则( ).
admin
2019-03-30
56
问题
[2006年]设函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在点x
0
处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x
0
处对应的增量与微分.若△x>0,则( ).
选项
A、0<dy<△y
B、0<△y<dy
C、△y<dy<0
D、dy<△y<0
答案
A
解析
解一 由f’(x)>0,f"(x)>0知,函数f(x)单调增加,曲线y=f(x)是凹向.作出函数y=f(x)的图形,如图1.2.2.1所示.易看出当△x>0时,有
△y>dy=f’(x
0
)dx=f’(x
0
)△x>0.仅(A)入选.
解二 因△y=f(x
0
+△x)-f(x
0
)为函数差的形式,这启示我们可用拉格朗日中值定理
△y=f(x
0
+△x)-f(x
0
)=f’(ξ)△x,x
0
<ξ<x<sub>0+△x
求之.因f"(x)>0,故f’(x)单调增加,有f’(ξ)>f’(x
0
).又△x>0。则
△y=f’(ξ)△x>f’(x
0
)△x=dy>0, 即0<dy<△y.
解三 因题设给出f’(x)>0,f"(x)>0,故可用泰勒公式求之.
f(x
0
+△x)=f(x
0
)+f’(x
0
)△x+
f"(ξ)△x
2
>f(x
0
)+f’(x
0
△x,
即 f(x
0
+△x)-f(x
0
)=△y>f’(x
0
)△x=dy.
又因△x>0,f’(x)>0,有dy>0,故仅(A)入选.
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考研数学三
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