设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1=1，λ2=一1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=________．

admin2019-01-05 42

问题设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ₁=1，λ₂=一1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=________．

选项

答案18

解析由|2E+A|=|A一(一2E)|=0知λ=一2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ₁=1，λ₂=一1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ₁=1，λ₂=-1，λ₃=-2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=一3，从而
|E+2B|=3×(一1)×(-3)=9，|A|=λ₁λ₂λ₃=2．
故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A||E+2B|=2×9=18．

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考研数学三

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