设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．

admin2017-08-07 57

问题设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且A^T=A*，证明A是正交矩阵．

选项

答案AA^T=AA*=|A|E，因此只用证明|A|=1，就可由定义得出A是正交矩阵．由于A≠0，有非零元素，设a_ij≠0．则AA^T的(i，i)位元素|A|=a_i1²+a_i2²+…+a_ij²+…+a_in²＞0，从而AA^T≠0．对等式AA^T=|A|E，两边取行列式，得|A|²=|A|ⁿ，即|A|^n-2=1．又由|A|＞0，得出|A|=1．

解析

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