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求下列微分方程的通解: (Ⅰ) y"一3y’=2—6x; (Ⅱ) y"+y=cosxcos2x.
求下列微分方程的通解: (Ⅰ) y"一3y’=2—6x; (Ⅱ) y"+y=cosxcos2x.
admin
2018-11-21
16
问题
求下列微分方程的通解:
(Ⅰ) y"一3y’=2—6x; (Ⅱ) y"+y=cosxcos2x.
选项
答案
(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解,由于其特征方程为λ
2
—3λ=λ(λ一3)=0,所以通解为 [*](x)=C
1
+C
2
e
3x
. 再求非齐次方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且0是特征方程的单根,所以特解应具形 式y
*
(x)=x(Ax+B),代入原方程,得 [y
*
(x)]"一3[y
*
(x)]’=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x. 比较方程两端的系数,得[*],解得A=1,B=0,即特解为y
*
(x)=x
2
.从而,原方程的通解为 y(x)=x
2
+C
1
+C
2
e
3x
,其中C
1
,C
2
为任意常数. (Ⅱ)由于cosxcos2x=[*](cosx+cos3x),根据线性微分方程的叠加原理,可以分别求出y"+y=[*]cos3x的特解y
1
*
(x)与y
2
*
(x),相加就是原方程的特解. 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
+1=0,特征根为±i,所以其通解应为C
1
cosx+C
2
sinx;同时y"+y=[*]cosx的特解应具有形式:y
1
*
(x)=Axcosx+Bxsinx,代入原方程,可求得A=0,B=[*].即sinx. 另外,由于3i不是特征根,所以另一方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ccos3x+Dsin3x,代入原方程,可得C=一[*],D=0.这样,即得所解方程的通解为 y(x)=[*]cos3x+C
1
cosx+C
2
sinx,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/g4g4777K
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考研数学一
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