设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,f’(a)<0,f"(x)≤0(x>a),则f(x)在[a,+∞)内( ).

admin2021-01-14  31

问题 设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,f’(a)<0,f"(x)≤0(x>a),则f(x)在[a,+∞)内(    ).

选项 A、无根
B、有两个根
C、有无穷多个根
D、有且仅有一个根

答案D

解析 f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+(x—a)2,其中ξ介于a与x之间.
    因为f(a)=A>0,,所以f(x)在[a,+∞)上至少有一个根.
    由f"(x)≤0(x>a)f’(x)单调不增,所以当x>a时,f’(x)≤f’(a)<0f(x)在[a,+∞)为单调减函数,所以根是唯一的,选(D).
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