设f(x)在(—1,1)内具有二阶连续导数,且f″(x)≠0。证明: 对于任意的x∈(—1,0)∪(0,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(0(x)x)成立。

admin2018-12-29  30

问题 设f(x)在(—1,1)内具有二阶连续导数,且f″(x)≠0。证明:
对于任意的x∈(—1,0)∪(0,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(0(x)x)成立。

选项

答案由拉格朗日中值定理,对任意的x∈(—1,1),x≠0,存在θ(x)∈(0,1)使 f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)。 又由f″(x)连续且f″(x)≠0知,f″(x)在(—1,1)不变号,则f′(x)在(—1,1)严格单调,θ唯一。

解析
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