(1)若A可逆且A～B，证明：A～B； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2017-08-31 43

问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A^*～B^*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

选项

答案(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^－1AP=B，而A^*=｜A｜A^－1，B^*=｜B｜^－1，于是由P^－1AP=B，得(P^－1AP)^－1=B^－1，即P^－1A^－1P=B^－1，故P^－1｜A｜A^－1P=｜A｜B^－1或P^－1A^*P=B^*，于是A^*～B^*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P^－1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP^－1=P(BP)P^－1，故AP～BP．

解析

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考研数学一

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