设且B=P－1AP． (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量； (Ⅱ)当时，求矩阵B； (Ⅲ)求A100．

admin2015-05-07 54

问题设

且B=P^－1AP．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)当

时，求矩阵B；
(Ⅲ)求A¹⁰⁰．

选项

答案(Ⅰ)由矩阵A的特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=1，λ₃=－3．由齐次线性方程组(E－A)x=0，[*] 得基础解系η₁=(－4，1，2)^T．由齐次方程组(－3E－A)x=0，[*] 得基础解系η₂=(－2，1，1)^T．因此，矩阵A关于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为k₁(－4，1，2)^T，k₁≠0；而关于特征值 λ=－3的特征向量为k₂(－2，1，1)^T，k₂≠0． [*] (Ⅲ)由P^－1AP=B有P^－1A¹⁰⁰P=B¹⁰⁰，故A¹⁰⁰=PB¹⁰⁰p^－1．又 [*] 于是 [*]

解析

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考研数学一

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